Thôi Vĩnh Huy sinh vào tháng 11 năm 1970 tại Châu tự trị dân tộc Thổ Gia, Miêu Ân Thi, tỉnh Hồ Bắc, Cộng hòa Nhân dân Trung Hoa. Ông lớn lên và tốt nghiệp cao trung ở Ân Thi, thi cao khảo vào năm 1987 và đỗ Đại học Sư phạm Hoa Trung, tới thủ phủ Vũ Hán nhập học từ tháng 9 cùng năm, tốt nghiệp cử nhân chuyên ngành giáo dục chính trị vào tháng 7 năm 1991. Ông được kết nạp Đảng Cộng sản Trung Quốc vào tháng 3 năm 1991 khi là sinh viên năm cuối Sư phạm Hoa Trung. Ông từng tham gia các khóa học như khóa tiến tu cán bộ giai đoạn tháng 9–11 năm 2005; khóa bồi dưỡng huấn luyện trong chương trình "phát triển cán bộ trẻ" giai đoạn tháng 4–6 năm 2011, đều tại Trường Đảng Tỉnh ủy Hồ Bắc. Bên cạnh đó, ông được cử tham gia khóa bồi dưỡng quản lý hành chính của thị trưởng giai đoạn 9–11 năm 2009 tại Trung tâm Toàn quốc.[1]